zentraler Grenzwertsatz

zentraler Grenzwertsatz,

 

Stochastik: ein Hauptresultat der Wahrscheinlichkeitstheorie, wonach die Verteilung der Summe von n unabhängigen Zufallsvariablen X_i näherungsweise normalverteilt ist (Normalverteilung), sofern n groß ist. Die exakte Fassung einer der vielen verschiedenen Versionen des zentralen Grenzwertsatzes lautet: Haben alle Zufallsvariablen X₁, X₂,. .. die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung, den Erwartungswert μ und die endliche Varianz σ², so gilt für alle x ∈ ℝ

 

Da Φ (x) die Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung N (0, 1) ist, folgt aus obiger Gleichung, dass die Verteilung von S_n für große n näherungsweise mit der Normalverteilung N (nμ, nσ²) übereinstimmt. Diese Eigenschaft erklärt das häufige Vorkommen der Normalverteilung (und deren Bezeichnung als gaußsches Fehlergesetz) bei Zufallserscheinungen, die durch additive Überlagerung vieler unabhängiger Einzeleffekte entstehen, und sie rechtfertigt, dass bei statistischen Verfahren aufgrund von Stichproben mit großem Umfang n eine Normalverteilung zugrunde gelegt werden darf. Ferner erlaubt der zentrale Grenzwertsatz die näherungsweise Berechnung von in der Statistik häufig vorkommenden Wahrscheinlichkeiten und Quantilen der Verteilung von Summen unabhängiger Zufallsvariabler. - Der Sonderfall, in dem alle Zufallsvariablen X_i die Binomialverteilung B (n, p) aufweisen (also S_n die Anzahl der Erfolge in einem Bernoulli-Experiment ist), heißt Grenzwertsatz von Moivre-Laplace nach seinen Entdeckern A. de Moivre (1730) und P. S. Marquis de Laplace (1812).